• Intro til funktioner generelt
• Intro til afledte funktioner (differentiation) og funktioners hældninger
• Intro til stamfunktioner/antiafledte (integration) og arealer under grafer
• Intro til funktionstyper, deres afledte funktioner og deres stamfunktioner
• Arbejde med matematikprojekt skatepark.
• Vi går mere i deltalje med differentiation og integration i senere forløb

I kender det allerede:

• Regningen på energidrik afhænger af antallet af energidrik, der købes (og mærket selvfølgelig).
• Renteindtægterne i banken afhænger af pengene på bankbogen.
• Tidevand afhænger af tidspunktet på døgnet.

Fælles er:

• at en størrelse afhænger af en anden.
• men at den anden størrelse ikke afhænger af den første.

Eksempel

• Der er ikke både flod og ebbe (høj- og lavvande) på samme tid.
• Vi betaler ikke to forskellige beløb for det samme antal mælk (af samme mærke og i samme butik).

I matematik er en funktion en matematisk sammenhæng mellem to størrelser.

En funktion forstås som en beskrivelse af sammenhængen mellem en uafhængig variabel \(x\) og en afhængig variabel \(f(x)\).

Det gælder, at der til én værdi af den uafhængige variabel \(x\) kun findes én værdi af den afhængige variabel \(f(x)\).

Typisk beskrives en matematisk funktion ved en forskrift og/eller en graf.

Diskutér i makkerpar.

Nej, der er hverken tale om Danmarks- eller verdensmesterskabet her.

DM Definitionsmængde

Mængden af tal, der kan anvendes som uafhængig variabel, typisk \(x\) i en funktion.

VM Værdimængde

Mængden af funktionsværdier, typisk \(f(x)\), der fremkommer ved gennemløb af definitionsmængden.

Det skrives på en helt særlig måde.

Eksempel 8.7

• Afledte funktioner: \(f'(x)\) eller \(\frac{d f}{dx}\) - En funktion for en funktions hældningstal
• Tangentligninger
• Funktionsanalyse:
  • Maksimum og minimum (ekstremumspunkter)
  • Vendetangentpunkter
  • Monotoniforhold
• Optimering

I skal undesøge hældningerne for forskellige funktioner (den til højre). Én funktion pr person i makkerskabsgruppen.

• Den afledte funktion er \[f'(x) = 2x\]

• Den afledte funktion er \[g'(x) = \frac{1}{x}\]

• Den afledte funktion er \[h'(x) = x^2-1\]

• Den afledte funktion er \[i'(x) = cos(x)\]

Ja, man skal anvende sekanter og begrebet grænseværdi.

Grafisk ser de således ud

Trin 1

Opskriv differenskvotienten aka sekantens hældning. (Er også gennemsnitshældningen mellem de to punkter.) \[a_\text{sekant} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]

Trin 2

Omskriv det fremkomne udtryk, så næste trin bliver nemmere at gennemføre.

Trin 3

Bestem differentialkvotienten ved at bestemme grænseværdien for \(\Delta x \to 0\) for differenskvotienten. \[f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right)\]

Bestem differentialkvotienterne (de afledte funktioner) for de følgende funktioner vha tretrinsreglen

• Det er lidt tricky for \(h(x)\).
• Det noget mere tricky for \(i(x)\). Der skal ganges med det smarte et-tal \(\frac{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}\) på et tidspunkt.

Man kan bevise alskens regler for differentiation, men det vender vi tilbage til senere. Nu får I bare reglerne foræret.

Vi skal finde ligningen for tangenten, som tangerer funktionen \[f(x)=x^2\] i punktet \((2, f(2))\).

• Svaret er \(t: y=4x -4\)
• Men det tager vi også lige på tavlen.

Find tangentligningerne for følgende funktioner og punkter:

• I kan selv overveje, hvorfor vi ikke gider at gøre det for \(f(x)=8x\).

• A er et lokalt maksimum (hældningen går fra positiv til nul til negativ)
• B er et lokalt minimum (hældningen går fra negativ til nul til positiv)
• C er et vandret vendetangentpunkt (hældningen går fra negativ til nul til negativ igen)
• Hvis man har fundet lokale ekstremumspunkter for en funktion, så kan man også fastlægge funktionens monotoniforhold.

Vi tager funktionen \[f(x)= 3x^2 + 8x\]

• \(f(x)\) har lokalt (og globalt) minimumspunkt i (-1.33 , -5.33)
• Monotoniforhold:
  • \(f(x)\) er aftagende for x< -1.33
  • \(f(x)\) er voksende for x> -1.33

• Det kan alt sammen vises i blinde (uden at tegne grafen) vha. differentialregning, men det må vi hellere lige tage på tavlen.

Nu skal I selv lige prøve.

Find eventuelle ekstremumspunkter og fastlæg monotoniforholdet for

\[f(x) = - \sqrt{x} + x\]

En komplet funktionsanalyse består af

1. Definitionsmængde
   • Begrænsninger for x-værdier.
   • \(Dm(f) = \left\{ x \in \mathbb{R} | \dots \right\}\)
2. Bestemmelse af nulpunkter (rødder)
   • \(f(x)=0\)
   • isolér x i ligningen.
3. Bestemmelse af eventuelle ekstrema
   • \(f'(x)=0\)
   • isolér x i ligningen.
   • Indsæt x-værdierne i f(x) for at finde de tilhørende y-værdier.
4. Beskrivelse af monotoniforhold
   • Indsæt passende x-værdier før og efter ekstremumspunkterne i forrige punkt i \(f'(x)\)
   • \(f(x)\) er voksende i intervallet/intervallerne \(\dots < x < \dots\)
   • \(f(x)\) er aftagende i intervallet/intervallerne \(\dots < x < \dots\)
5. Bestemmelse af Værdimængde
   • Alle y-værdier for \(f(x)\).
   • \(Vm(f) = \left\{ f(x) \in \mathbb{R} | \dots \right\}\)
6. (Bestemmelse af vendetangentpunkter)
   • Sæt \(f''(x)=0\)
   • Isolér x i ligningen.
   • Indsæt x-værdierne i \(f(x)\) for at finde y-værdierne.
7. (Bestemmelse af asymptoter)

Lad os udføre en funktionsanalyse for

\[f(x) = 6 x - \frac{1}{2} x^3\]

1. \(Dm(f) = \left\{ x \in \mathbb{R} \right\}\) (Der er ingen begrænsninger for x.)

2. Rødder:

   \begin{align*} f(x) &= 0 \\ 6x - \frac{1}{2}x^3 &=0 \\ x_1 &= 0 \\ 6 - \frac{1}{2}x^2 &= 0 \\ x_2 &= \sqrt{12} = 3.46 \\ x_3 &= - \sqrt{12} = - 3.46 \\ \end{align*}

\[f(x) = 6 x - \frac{1}{2} x^3\]

3. Ekstrema

   \begin{align*} f'(x) &= 0 \\ 6 - \frac{3}{2}x^2 &= 0 \\ x_4 &= -2 \\ x_5 &= 2 \\ y_4 = f(x_4) &= 6 (-2) - \frac{1}{2}(-2)^3 =-8 \\ y_5 = f(x_5) &= 6 \cdot 2 - \frac{1}{2}\cdot 2^3 = 8 \end{align*}

\((-2,-8)\) og \((2,8)\) er altså kandidater til at være ekstremumspunkter.

\[f(x) = 6 x - \frac{1}{2} x^3\]

4. Monotoniforhold

   \(x\)	-3	-2	0	2	3
   \(f'(x)\)	-7.5	0	6.	0	-7.5
   \(f(x)\)	\(\searrow\)	\(\rightarrow\)	\(\nearrow\)	\(\rightarrow\)	\(\searrow\)

   • \(f(x)\) er aftagende i intervallerne \(x=]-\infty \,;\, -2 [\) og \(x = ]2 \,;\, \infty[\)
   • \(f(x)\) er voksende i intervallet \(x=]-2 \,;\, 2 [\)
   • \((-2,-8)\) er et lokalt minimum. (Skal stå under forrige punkt)
   • \((2,8)\) er et lokalt maksimum. (Skal stå under forrige punkt)
5. Værdimængde \[Vm(f) = \left\{ f(x) \in \mathbb{R} \right\}\]
   • Det kan ses ud fra forskriften og monotoniforholdet.

\[f(x) = 6 x - \frac{1}{2} x^3\]

6. Vendetangentpunkter

   \begin{align*} f'(x) &= 6 - \frac{3}{2}x^2 \\ f''(x) &= - \frac{6}{2}x = - 3 x \\ -3x &= 0 \to x=0 \\ f(0) &= 6\cdot 0 - \frac{1}{2}\cdot 0^3 = 0 \end{align*}
   • Altså er der en kandidat til et Vendetangentpunkt i (0,0)
   \begin{align*} f''(-1) &= -3 \cdot (-1) = 3 \\ f''(1) &= -3 \cdot 1 = -3 \end{align*}
   • (0,0) er et vendetangentpunkt, da \(f''(x)\) skifter fortegn omkring \(x=0\).

\[f(x) = 6 x - \frac{1}{2} x^3\] Konklusion

• Rødder: (-3.46,0) , (0,0), (3.46,0) ( (0,0) er også skæringen med y-aksen) )
• Lokalt minimum: (-2,-8)
• Lokalt maksimum: (2,8)
• Vendetangentpunkt: (0,0)
• Monotoniforhold:
  • \(f(x)\) er aftagende i intervallerne \(x=]-\infty \,;\, -2 [\) og \(x = ]2 \,;\, \infty[\)
  • \(f(x)\) er voksende i intervallet \(x=]-2 \,;\, 2 [\)

Grafisk konklusion

Det ser ud til at passe meget godt. :)

• Nu skal det der differentialligning bruges til noget rigtig godt.
• Det er jo altid godt, at kunne beregne den optimale størrelse.

Fremgangsmåde:

1. Analysér problemstillingen. Matematisér den.
2. Opstil udtryk med én ubekendt variabel, som kan maksimeres eller minimeres. Mange gange skal flere ligninger sættes sammen til en.
3. Differentiér udtrykket og sæt lig nul.
4. Løs ligningen.
5. Udfør en fortegnsundersøgelse omkring rødderne i ligningen for at afgøre, om der er tale om maksima eller minima.

1. Matematisering

   \begin{align*} \text{Længde} &= 2x + y = 480\\ \text{Areal} &= x\cdot y \end{align*}

• Der er to variable. Men \(y\) kan isoleres i ligningen for længden og indsættes i ligningen for arealet.

• Længde: \[ 2x +y = 480 \to y = 480 - 2x\]

• Areal:

  \begin{align*} A &= x\cdot y \\ A &= x\cdot \left( 480 - 2x \right) \\ A(x) &= 480x - 2x^2 \end{align*}

• Nu kan det differentieres:

  \begin{align*} A'(x) &= 480 - 4 x \\ 0 &= 480 -4x \\ x &= \frac{480}{4} \\ x &= 120 \end{align*}

Fortegnsundersøgelse for \(A'(x)\)

Hældningen går altså fra positiv over nul til negativ. Ergo er der tale om et maksimumspunkt.

• Den optimale x-værdi er da x=120.

• Den tilhørende optimale y-værdi kan nu beregnes vha udtrykket for længden:

  \begin{align*} y &= 480 - 2 x \\ y &= 480 - 2 \cdot 120 \\ y &= 240 \end{align*}

De optimale mål og arealet er da:

Nu er der fri leg blandt de følgende opgaver.

• Et ubestemt integral er det samme som at finde en stamfunktion til en funktion.
• En stamfunktion er en anti​-afledt funktion.
• At integrere er altså det modsatte af at differentiere.

Notation:

• Bestemt integration og differentiation går ud med hinanden

Man kan undersøge om en opgivet stamfunktion er korrekt, ved at differentiere stamfunktionen og tjekke at dette udtryk er lig den oprindelige funktion.

Eksempel Der oplyses en funktion \(f(x)=2 x\). Eftervis at \(F(x)=x^2\) er en stamfunktion til \(f(x)\).

Hvad så med \(F(x) = x^2 +4\)? Er det også en stamfunktion til \(f(x)\)?

Gæt jer til stamfunktionerne til følgende funktioner, ved at tjekke om jeres gæt giver den oprindelige funktion, når I differentiere. (I må gerne differentiere vha geogebra/wordmat, afledede i geogebra)

• Kan I finde en generel formel til at finde stamfunktionen til \(x^n\)?
• Svaret er: \(f(x) = x^n \to F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + k\)

\[\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\, (+k)\]

Bestem de følgende ubestemte integraler (find stamfunktioner)

1. \(\int x^6 \,dx\)
2. \(\int \frac{1}{x^5} \,dx\)
3. \(\int \sqrt[4]{x} \,dx\)
4. \(\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \,dx\)

Bestemmelse af areal mellem graf og x-aksen.

Bestem størrelserne af følgende bestemte integraler:

1. \(\int_0^1 x^3\,dx\)
2. \(\int_1^0 x^3\,dx\)
3. \(\int_{-1}^0 x^3\,dx\)
4. \(\int_{-1}^1 x^3\,dx\)

• Hvilke sammenhænge har I fundet?

Bestem størrelsen af følgende bestemte integraler

1. \(\int_1^3 \frac{1}{x^5}\,dx\)
2. \(\int_0^2 \sqrt{x}\,dx\)
3. \(\int_0^3 2 x^3-12x\,dx\)
4. \(\int_2^3 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)

Udregn de følgende bestemte integraler. Skriv det hele i hånden, så I får øvet jer.

Slå stamfunktionerne op på næste slide.

1. \(\int_0^2x^4 \,dx\)
2. \(\int_3^5 x^{-2} \, dx\)
3. \(\int_4^7 6 \, dx\)
4. \(\int_{-3}^5 \, dx\)
5. \(\int_1^2 3^x \, dx\)
6. \(\int_1^4 \sqrt{x} \, dx\)

Roll racing!

Lad os se lidt på en graf over hastigheden som funktion af tiden.

• Typisk starter racet ved 40 mph, altså 64.37 km/h eller 17.88 m/s.
• Accelerationsrekorden for en dragracer er vist "6g", men lad os antage at bilerne her trækker 2 eller 3 g. Altså en acceleration på \(a=2 \cdot 9.82 m/s^2= 19.64 m/s^2\).
• Lad os bare antage at accelerationen er konstant (Det kan den ikke være i virkeligheden.)

• Hvis man differentierer hastigheden får man accelerationen.
• \(a(t) = \frac{d}{dt}\left( v \right) = \frac{d}{dt} \left( 19.64 \cdot t + 17.88 \right)\)
• \(a(t) = 19.64 \,m/s^2\)
• Accelerationen er bare konstant.

• Hvis man integrerer hastigheden får man strækningen.
• \(s(t)= \int v(t) \,dt = \int 19.64 \cdot t + 17.88 \,dt\)
• \(s(t)= 19.64 \cdot \frac{t^2}{2} + 17.88\cdot t + k\)
• \(k\) er en integrationskonstant. Det kan være startstrækningen til tiden 0. Vi sætter den bare til nul.

En ekstra dejlig udfordring

Forestil jer en bil, som sætter i gang. I det øjeblik den starter er accelerationen på 8.7 m/s². Accelerationen falder lineær, og efter 5.8 sekunder er accelerationen på nul.

1. Bestem en forskrift for accelerationen som funktion af tiden.
2. Bestem en forskrift for hastigheden som funktion af tiden. Beregn, hvor hurtigt bilen kører efter de 5.8 sekunder.
3. Bestem en forskrift den tilbagelagte strækning som funktion af tiden. Beregn den tilbagelagte strækning efter de 5.8 sekunder.

Den generelle forskrift for en parabel er

\[f(x) = a \cdot x^2+ b \cdot x + c\]

Grafen for parablen afhænger af parablens koefficienter \(a\), \(b\) og \(c\).

Hvilken betydning har \(a\), \(b\) og \(c\) for grafens udseende?

\[f(x)=a\cdot x^2+ b \cdot x + c\]

For \[a\cdot x^2+b \cdot x + c =0\] er den generelle løsning

\[\boxed{x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2 \cdot a}}\]

hvor diskriminanten er

\[\boxed{d = b^2- 4 \cdot a \cdot c}\].

• Hvis \(d>0\) (altså positiv) er der to løsninger.
• Hvis \(d=0\) er der én løsning.
• Hvis \(d<0\) (altså negativ) er der ingen reelle løsninger.

Det hele står her, men vi tager det lige på tavlen.

Beregn skæringerne (hvis nogen) med x-aksen for følgende parabler.

Vi skal "bare" isolere x i ligningen \[a\cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\] Alle mellemregninger står her, men det er bedst at se live, så vi tager den lige på tavlen.

\[\boxed{x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a \cdot c}}{2 a}}\]

En parabel med forskriften \[f(x)=a x^2 + b x +c\] har toppunkt (eller minimumspunkt) i \[T = \left( - \frac{b}{2a} \,,\, - \frac{d}{4a} \right)\] hvor \(d= b^2-4 a c\)

• Vælg 2 forskellige parabler med forskellige koefficienter ved at trække i skyderne i geogebraappletten.
• Beregn toppunkterne til de to parabler vha formlen fra forrige slide.
• Tjek at jeres beregninger stemmer med toppunktet i geogebra.

\[f(x)=a x^2 + b x +c\]

• I toppunktet er tangenten vandret og hældningen er derfor nul.
• Altså er \(f'(x) =0\)

• y-koordinatet findes ved at indsætte de fundne x-koordinat i \(f(x)\)

• Hermed udledt.

Den generelle forskrift for en parabel er som bekendt \[f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c\]

• Hvor mange punkter, som grafen skal gå igennem, skal man kende, for at bestemme koefficienterne?
• Hvordan vil I bestemme koefficienterne til en parabel, som går gennem punkterne \((2,-4)\), \((-2,0)\) og \((6,8)\)? Alle hjælpemidler er tilladte!

Med forskriften \[f(x)=a x^2+b x +c\] er det nemt at finde den afledte funktion samt stamfunktionen

• Jeg er sikker på, at I selv kan finde ud af det…

• Ellers er de her:

  \begin{align*} f'(x) &= \frac{d}{dx}\left(a x^2 + b x +c \right) = a \cdot 2 x^{2-1} +b \iff \boxed{f'(x)= 2 a x + b} \\ F(x) &= \int a x^2 + b x +c \,dx = a \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + b \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + c \cdot x + k \iff \boxed{F(x) = \frac{a}{3} x^3 + \frac{b}{2} x^2 + c x + k} \end{align*}

Betragt parablen med forskriften \[f(x)= - \frac{1}{4}x^2 +2\,.\] og den lineære funktion \[g(x)=x -6\].

1. Bestem ligningen for tangenten til \(f(x)\), som er parallel med \(g(x)\).
2. Bestem arealet, der afgrænses af \(f(x)\), \(g(x)\) og deres skæringspunkter.

1. Udnyt at \(f'(x)\) skal have samme værdi som hældningen for \(g(x)\). Løsningen ligningen for x og find y-koordinatet der passer til. Find derefter b-koefficienten for tangenten, som for en almindelige lineær funktion.
2. Find først x-koordinaterne til skæringspunkterne mellem de to grafer ved at sætte forskrifterne lig hinanden og så løse den fremkomne 2.gradsligning. Arealet beregnes nu vha et bestemt integral mellem de to funktioner, hvor grænserne er de netop fundne x-koordinater.

Vi tager lige udgangspunkt i den simple hyperbel \[f(x)=\frac{1}{x}\]

• Det naive forsøg er at omskrive \[f(x)=x^{-1}\]
• Kan man ikke finde stamfunktionen nu? \[f(x)=x^n \to F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}+k\]
• Prøv lige at gøre det!
• Hvad er problemet?

Ifølge tabeller er den rigtige stamfunktion \[f(x)=\frac{1}{x}\] \[\boxed{ F(x) = \ln (x) +(k)}\]

• Men hvad er \(\ln(x)\) egentlig for noget?
• Kan det være rigtigt?

Konklusion

For den simple hyperbel \[f(x)=\frac{1}{x}\] er den afledte funktion \[f'(x) = - \frac{1}{x^2}\] mens stamfunktionen er \[F(x) = \ln(x) +(k)\]

video med numberphile

Bestem rumfanget af den kegle, der fremkommer, når følgende funktion roteres omkring x-aksen mellem 0 og 6:

\[f(x) = \frac{1}{3}x\]

Eller \[\boxed{f(x)= a_n \cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1}+ \dots + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0}\]

• \(n\) kan altså kun være de naturlige tal samt nul (alle positive hele tal samt nul.
• Er en sum af en række potensfunktioner.

Algebraens fundamentalsætning:

• Ethvert polynomium, \(p(z)\), af n'te grad med \(n\geq 1\) har \(n\) komplekse rødder, \(z_1\), \(z_2\), \(\dots\), \(z_n\), (som ikke nødvendigvis er forskellige).
• Polynomiet kan faktoriseres som \[p(z) = a_n \cdot \left( z-z_1 \right)\cdot \left( z - z_2 \right) \cdots \left( z-z_n \right)\]

Men dette gælder for komplekse tal. Hvad med de reelle tal?

• Hvis man har flere funktioner, kan man sætte dem ind i hinanden, og så har man…
• drum roll!
• sammensatte funktioner!

F.eks. \[f(x)= x^2 \quad,\quad g(x)=\sin(x) \quad,\quad h(x)=10^x\]

For funktionerne

Find da de sammensatte funktioner:

Hvis man skal differentiere en sammensat funktion, skal man anvende kædereglen, som siger:

For den sammensatte funktion \(f(x)=g(h(x))\) gælder, at \[\boxed{f'(x) = g'(h(x))\cdot h'(x) = \frac{d g(h(x))}{d h(x)}\cdot \frac{d h(x)}{dx}}\]

• Men hvad søren skal det nu betyde?
• Jo, det skal læses som:
• Først differentierer man den ydre funktion (mht den indre funktion) og lader den indre funktion stå.
• Herefter differentierer man den indre funktion (mht x), og dette multiplicerer man på det første differentiale.
• Vi må hellere tage nogle eksempler.

\[f(x)=\left( 2\cdot x^3+5x \right)^4\]

• Den ydre funktion er \(g(x)=x^4\)
• Den indre funktion er \(h(x)=2\cdot x^3 + 5x\)
• Først finder man \(g'(x)=4 x^3\), men på x's plads skriver man den indre funktion, altså
• \(g'(h(x))=4 \cdot \left( 2\cdot x^3+5x \right)^3\)
• Så differentierer man den indre funktion på alm. vis
• \(h'(x) = 2 \cdot 3 \cdot x^2+5 = 6x^2+5\)
• men dette skal lige ganges på det første, altså
• \[f'(x) = g'(h(x))\cdot h'(x) = 4 \cdot \left( 2\cdot x^3+5x \right)^3 \cdot \left( 6x^2+5 \right)\]

Vi gør det lige en gang til (Den er lidt svær). \[f(x) = \sqrt{\left( 4x^3 + 1 -2x \right)^2-6x^2}\]

\[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( \left(4x^3+1-2x \right)^2-6x^2\right)^{- \frac{1}{2}}\cdot \left( 2\left(4x^3+1-2x \right)\cdot \left( 4 \cdot 3 x^2-2 \right) - 6 \cdot 2 x \right)\]

hvor det er brugt, at

Bestem de afledte funktioner for de følgende sammensatte funktioner.

• I kan klikke på billedet for at åbne projektoplægget.
• Eller I kan højreklikke og gemme som.